वक्रों y = log_e x और y = (log_e x)^2 द्वारा | vedclass

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Question

(A) वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\log_e x = (\log_e x)^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु नि

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$3 - e$

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(A) वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\log_e x = (\log_e x)^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।माना $u = \log_e x$ है। तब $u = u^2$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$। अतः,$u = 0$ या $u = 1$ है।$u = 0$ के लिए,$\log_e x = 0 \implies x = 1$। $u = 1$ के लिए,$\log_e x = 1 \implies x = e$।वक्र $x = 1$ और $x = e$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतराल $[1, e]$ में,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ है।आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए:$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हुए:$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$अतः,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$।

वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

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