X-अक्ष के ऊपर परवलय y^{2}=x और वृत्त x^{2}+y^ | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=x$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}=2x$ (वृत्त) हैं।वृत्त के समीकरण को $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(1

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$\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}$

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(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=x$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}=2x$ (वृत्त) हैं।वृत्त के समीकरण को $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(1,0)$ और त्रिज्या $1$ है।दोनों समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+x=2x \implies x^{2}-x=0 \implies x(x-1)=0$. अतः,$x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।हमें $X$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल चाहिए,इसलिए परवलय के लिए $y = \sqrt{x}$ और ऊपरी अर्धवृत्त के लिए $y = \sqrt{1-(x-1)^{2}}$ लेंगे।आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (\sqrt{1-(x-1)^{2}} - \sqrt{x}) dx$ है।$= \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$$= \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1) \right) - \frac{2}{3}$$= 0 - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

$X$-अक्ष के ऊपर परवलय $y^{2}=x$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=2x$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में ज्ञात कीजिए।

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परवलय $y^2=4(x-2)$ और रेखा $y=2x-8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

वक्र $y = \max \{| x |, x | x - 2 |\}$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = -2$ तथा $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . है।

दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ और $(x-1)^2+y^2=1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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