x in left[ frac{pi}{2}, frac{3pi}{2} right] क | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y_1 = \sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$। $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\frac{\pi}{2} - x \in

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$\frac{\pi^2}{4}$

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(A) दिया गया है $y_1 = \sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$। $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\frac{\pi}{2} - x \in [-\pi, 0]$। अतः,$y_1 = -x - \frac{\pi}{2}$ ($x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए) और $y_1 = x - \frac{3\pi}{2}$ ($x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए)।दिया गया है $y_2 = \cos^{-1}(\sin x) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$। $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\frac{\pi}{2} - x \in [-\pi, 0]$। अतः,$y_2 = |\frac{\pi}{2} - x| = x - \frac{\pi}{2}$ ($x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए) और $y_2 = \frac{3\pi}{2} - x$ ($x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए)।ग्राफ को देखने पर,क्षेत्रफल दो त्रिभुजों का योग है। पहले त्रिभुज के शीर्ष $(\frac{\pi}{2}, 0), (\pi, \frac{\pi}{2}), (\pi, 0)$ हैं और दूसरे के $(\pi, 0), (\pi, \frac{\pi}{2}), (\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes \frac{\pi}{2} 	imes \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} 	imes \frac{\pi}{2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}$.

$x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$ के लिए वक्रों $y = \sin^{-1}(\cos x)$ और $y = \cos^{-1}(\sin x)$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:

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प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y=x^2+2$ और रेखाओं $y=x+1, x=0$ तथा $x=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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