y-अक्ष द्वारा परिबद्ध वक्र xy^2 = a^2(a - x) | vedclass

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Question

(A) वक्र का समीकरण $xy^2 = a^2(a - x)$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{a^2(a - x)}{x}$।चूंकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$,$

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$\pi a^2$

Vedclass · Answer

(A) वक्र का समीकरण $xy^2 = a^2(a - x)$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{a^2(a - x)}{x}$।चूंकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$,$x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} a \sqrt{\frac{a - x}{x}} \, dx$।मान लीजिए $x = a \sin^2 	heta$,तो $dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$।जब $x = 0, 	heta = 0$ और जब $x = a, 	heta = \frac{\pi}{2}$।$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} a \sqrt{\frac{a - a \sin^2 	heta}{a \sin^2 	heta}} (2a \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 	heta \, d	heta$गुणधर्म $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 	heta \, d	heta = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$A = 4a^2 	imes \frac{\pi}{4} = \pi a^2$।

$y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध वक्र $xy^2 = a^2(a - x)$ का क्षेत्रफल क्या है?

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