प्रथम चतुर्थांश में परवलय y^{2}=x और रेखा x+y | vedclass

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Question

(B) $y^{2}=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=2-x$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:$(2-x)^{2}=x$$4-4x+x^{2}=x$$x^{2}-5x+4=0$$(x-4)

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$\frac{7}{6}$ वर्ग इकाई

Vedclass · Answer

(B) $y^{2}=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=2-x$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:$(2-x)^{2}=x$$4-4x+x^{2}=x$$x^{2}-5x+4=0$$(x-4)(x-1)=0$$x=1$ या $x=4$ प्राप्त होता है।चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं,इसलिए हम $x=1$ लेंगे। $x=1$ को $y^{2}=x$ में रखने पर,हमें $y=1$ प्राप्त होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $y>0$ होता है)।अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,1)$ है।रेखा $x+y=2$,$X$-अक्ष को $(2,0)$ पर काटती है।आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=2$ तक रेखा के नीचे के क्षेत्रफल का योग है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx$$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2}$$= \frac{2}{3}(1) + \left( (4-2) - (2-0.5) \right)$$= \frac{2}{3} + (2 - 1.5) = \frac{2}{3} + 0.5 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ वर्ग इकाई।

प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $x+y=2$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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वक्र $x^2+2x+y-3=0$,$X$-अक्ष और उस बिंदु पर स्पर्शरेखा जहाँ वक्र $Y$-अक्ष से मिलता है,द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

परवलय $y=\frac{x^2}{4 a}$ और वक्र $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ के बीच का क्षेत्रफल है

रेखाओं $x=0$ और $x=2$ के बीच वक्रों $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

वक्रों $y=2x^2$, $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ और रेखाओं $x=0, x=2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि $f(x)=x^{2/3}, x \geq 0$ है, तो वक्र $y=f(x)$ और तीन रेखाओं $y=x, x=1$ तथा $x=8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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