$R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ जहाँ $a * b = \frac{a}{b+1}$ है,वह है:

$R$ पर योग संक्रिया '$+$' के लिए दर्शाइए कि $-a$,$a$ का प्रतिलोम है और $a \neq 0$ के लिए गुणन संक्रिया '$\times$' के लिए $\frac{1}{a}$,$a$ का प्रतिलोम है।

मान लीजिए $A = N \times N$ और $^*$ पर $A$ में एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है जो $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है,साहचर्य (associative) है,और क्या इसमें तत्समक अवयव (identity element) है।

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,मान लीजिए $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ को $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\Phi$ संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक है और $P(X)$ के सभी अवयव $A$,$A^{-1} = A$ के साथ व्युत्क्रमणीय हैं।

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित कीजिए कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = (a - b)^{2}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।