a और b लंबाई की भुजाओं वाली एक पतली आयताकार प | vedclass

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Question

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$,$y$-दिशा में स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = b / 2$ होगा।$x$-निर्देशांक के लिए

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$\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$,$y$-दिशा में स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = b / 2$ होगा।$x$-निर्देशांक के लिए,हम मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी पर विचार करते हैं।इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \left(\frac{\sigma_0 x}{ab}\right) (b dx) = \frac{\sigma_0}{a} x dx$ है।द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_0^a x \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}{\int_0^a \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}$$x_{cm} = \frac{\int_0^a x^2 dx}{\int_0^a x dx} = \frac{[x^3 / 3]_0^a}{[x^2 / 2]_0^a} = \frac{a^3 / 3}{a^2 / 2} = \frac{2}{3} a$.अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$ पर स्थित है।

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