$(1+x)(1+x^2)(1+x^3) \ldots (1+x^{100})$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक क्या है?

यदि $C_{j}$ का अर्थ ${ }^{n} C_{j}$ है,तो $\frac{C_0}{2} + \frac{C_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{C_2}{3 \cdot 2^3} + \ldots + \frac{C_{n}}{(n+1) 2^{n+1}} = $

$(1 + x)^n - nx - 1$ किससे विभाज्य है (जहाँ $n \in N$):

यदि $(x - \frac{1}{2x})^n$ के विस्तार में तीसरे और चौथे पद के गुणांकों का अनुपात $1 : 2$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक $\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}\left[ {{{\left[ {\frac{{1 + \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7} - {{\left[ {\frac{{1 - \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7}} \right]$,$x$ में कितने घात का बहुपद है?

जब $19^{200} + 23^{200}$ को $49$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $.........$ होता है।