(3+x+x^2)^6 में x^5 का गुणांक क्या है? | vedclass

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Question

(D) $(3+x+x^2)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot

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$2178$

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(D) $(3+x+x^2)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^{q+2r}$ है,जहाँ $p+q+r=6$ है।हमें $x^5$ का गुणांक ज्ञात करना है,इसलिए $q+2r=5$ रखने पर,जिसका अर्थ है $q=5-2r$।$q$ का मान $p+q+r=6$ में रखने पर,हमें $p+(5-2r)+r=6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $p=1+r$ हो जाता है।चूँकि $p, q, r \ge 0$ है,$r$ के लिए संभावित मानों की जाँच करने पर:$1$) यदि $r=0$,तो $p=1$ और $q=5$। पद $\frac{6!}{1!5!0!} 3^1 = 6 	imes 3 = 18$ है।$2$) यदि $r=1$,तो $p=2$ और $q=3$। पद $\frac{6!}{2!3!1!} 3^2 = 60 	imes 9 = 540$ है।$3$) यदि $r=2$,तो $p=3$ और $q=1$। पद $\frac{6!}{3!1!2!} 3^3 = 60 	imes 27 = 1620$ है।इन गुणांकों का योग करने पर,हमें $18 + 540 + 1620 = 2178$ प्राप्त होता है।

$(3+x+x^2)^6$ में $x^5$ का गुणांक क्या है?

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