दो रेखाओं L और L_1 का संयुक्त समीकरण 2x^2+axy | vedclass

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Question

(A) माना रेखाएँ $L: y=mx$,$L_1: y=k_1x$,और $L_2: y=k_2x$ हैं। चूँकि $L_1 \perp L_2$,इसलिए $k_1k_2 = -1$,या $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ है।$L$ और $L_1$ का स

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$26$

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(A) माना रेखाएँ $L: y=mx$,$L_1: y=k_1x$,और $L_2: y=k_2x$ हैं। चूँकि $L_1 \perp L_2$,इसलिए $k_1k_2 = -1$,या $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ है।$L$ और $L_1$ का संयुक्त समीकरण $(y-mx)(y-k_1x) = y^2 - (m+k_1)xy + mk_1x^2 = 0$ है। इसे $2x^2+axy+3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $y^2 + \frac{a}{3}xy + \frac{2}{3}x^2 = 0$ के रूप में लिखते हैं। अतः,$mk_1 = \frac{2}{3}$ और $-(m+k_1) = \frac{a}{3}$ है।$L$ और $L_2$ का संयुक्त समीकरण $(y-mx)(y-k_2x) = y^2 - (m+k_2)xy + mk_2x^2 = 0$ है। इसे $2x^2+bxy-3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $y^2 - \frac{b}{3}xy - \frac{2}{3}x^2 = 0$ के रूप में लिखते हैं। अतः,$mk_2 = -\frac{2}{3}$ और $-(m+k_2) = -\frac{b}{3}$ है।हमें $k_1 = \frac{2}{3m}$ और $k_2 = -\frac{2}{3m}$ प्राप्त होता है। चूँकि $k_1k_2 = -1$,इसलिए $(\frac{2}{3m})(-\frac{2}{3m}) = -1$ $\Rightarrow \frac{4}{9m^2} = 1$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।स्थिति $1$: $m = \frac{2}{3}$. तब $k_1 = 1$ और $k_2 = -1$ प्राप्त होता है। अतः $a = -5$ और $b = -1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$a^2+b^2 = (-5)^2 + (-1)^2 = 25+1 = 26$.

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