दो प्रतिच्छेदी वृत्तों $c_1$ और $c_2$ की उभयनिष्ठ जीवा उनके केंद्रों पर क्रमशः $90^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती है। यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $\sqrt{3} + 1$ है,तो $c_1$ और $c_2$ की त्रिज्याएँ हैं:

वक्रों $y^2=8x$ और $x^2+y^2+12y+35=0$ के बीच की न्यूनतम दूरी है:

तीन संकेंद्रित वृत्त,जिनमें से सबसे बड़ा $x^2 + y^2 = 1$ है,की त्रिज्याएँ $A.P.$ में हैं। यदि रेखा $y = x + 1$ सभी वृत्तों को वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटती है,तो वह अंतराल जिसमें $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ स्थित होगा,है:

मान लीजिए $S$,$xy$-समतल में $x^2+y^2=4$ समीकरण द्वारा परिभाषित वृत्त है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1, E_2$ और $F_1, F_2$ वृत्त $S$ की जीवाएँ हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समानांतर हैं। मान लीजिए $G_1, G_2$ वृत्त $S$ की जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसका ढाल $-1$ है। मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखाएँ $E_3$ पर मिलती हैं,$F_1$ और $F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $F_3$ पर मिलती हैं,और $G_1$ और $G_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $G_3$ पर मिलती हैं। तो,बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ किस वक्र पर स्थित हैं?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ पर एक बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $P$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $M$ और $N$ बिंदुओं पर काटती है। तो,रेखाखंड $MN$ का मध्य-बिंदु किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$

वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$,बिंदुओं $A(1, 0)$ और $B(3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है। यदि $\frac{BP}{PA} = \alpha$ और $\frac{BQ}{QA} = \beta$ है,तो $\alpha$ और $\beta$ किस द्विघात समीकरण के मूल हैं?

यदि दीर्घवृत्त $16 x^2+11 y^2=256$ पर बिंदु $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ पर स्पर्श रेखा वृत्त $x^2+y^2-2 x=15$ को स्पर्श करती है,तो $\theta=$