वक्रों y^2=8x और x^2+y^2+12y+35=0 के बीच की न | vedclass

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Question

(D) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जहाँ $4a=8 \Rightarrow a=2$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। ढाल $m$ का

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$2\sqrt{2}-1$

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(D) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जहाँ $4a=8 \Rightarrow a=2$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। ढाल $m$ का उपयोग करते हुए,अभिलंब $y = mx - 4m - 2m^3$ है। दिया गया वृत्त $x^2+y^2+12y+35=0$ है,जिसे $x^2+(y+6)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $C(0, -6)$ और त्रिज्या $r=1$ है। वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी केंद्र $C$ से परवलय तक की दूरी में से त्रिज्या $r$ को घटाने पर प्राप्त होती है। $C(0, -6)$ से परवलय पर अभिलंब $-6 = m(0) - 4m - 2m^3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $2m^3 + 4m - 6 = 0$,जो $m^3 + 2m - 3 = 0$ में सरल होता है। निरीक्षण द्वारा,$m=1$ एक मूल है। अतः,$(m-1)(m^2+m+3)=0$। चूंकि $m^2+m+3=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $m=1$ है। परवलय पर बिंदु $P$ जहाँ अभिलंब $C$ से गुजरता है,वह $(2, -4)$ है। दूरी $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ है। अतः,न्यूनतम दूरी $PC - r = 2\sqrt{2} - 1$ है।

वक्रों $y^2=8x$ और $x^2+y^2+12y+35=0$ के बीच की न्यूनतम दूरी है:

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