वृत्तों x^2+y^2+ax+4=0 और x^2+y^2+by+4=0 के ए | vedclass

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Question

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ हैं। केंद्र $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ और $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ हैं। त्रिज्याएँ $r_

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$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{16}$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ हैं। केंद्र $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ और $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ हैं। त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\sqrt{a^2-16}}{2}$ और $r_2 = \frac{\sqrt{b^2-16}}{2}$ हैं। वृत्तों के एक-दूसरे को स्पर्श करने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2$ होनी चाहिए। $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-16} + \sqrt{b^2-16}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2+b^2 = a^2-16 + b^2-16 + 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$. $32 = 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)} \Rightarrow 16 = \sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$. पुनः वर्ग करने पर: $256 = a^2b^2 - 16a^2 - 16b^2 + 256$. $a^2b^2 = 16(a^2+b^2)$. $16a^2b^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{16} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

वृत्तों $x^2+y^2+ax+4=0$ और $x^2+y^2+by+4=0$ के एक-दूसरे को स्पर्श करने की शर्त है

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यदि $(a, b)$ और $(c, d)$ क्रमशः वृत्तों $x^2+y^2+4x-5=0$ और $x^2+y^2-6y+8=0$ के आंतरिक और बाह्य समानता केंद्र (centres of similitude) हैं,तो $(a+d)(b+c)=$

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2 \alpha x+2 \beta y+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2} x+4 y+c=0$ की रेडिकल अक्ष वृत्त $x^2+y^2+2 x+2 y+1=0$ को स्पर्श करती है,तो $4 \alpha \beta-8 \alpha-3 \beta+10=$

यदि वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+k=0$,वृत्त $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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