कथन $\sim p \vee (q \wedge \sim r)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है

निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

निम्नलिखित कथन को "$p$ यदि और केवल यदि $q$" के रूप में पुनः लिखिए:
$p:$ यदि आप टेलीविजन देखते हैं,तो आपका मन मुक्त है और यदि आपका मन मुक्त है,तो आप टेलीविजन देखते हैं।

कथनों के बीच:
$(S1) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow ( p$ $\Rightarrow r )$
$(S2) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow (( p$ $\Rightarrow r ) \vee ( q$ $\Rightarrow r ))$

यदि $p \to (q \lor \sim r)$ असत्य है, तो $(p \leftrightarrow q) \land r$ और $\sim p \to \sim q$ के सत्य मान हैं :

निम्नलिखित में से सही तार्किक तुल्यताएँ हैं:
$(I)$ $p \to (q \to r) \equiv (p \land q) \to r$
$(II)$ $(p \to q) \to r \equiv p \to (q \lor r)$
$(III)$ $(p \to q) \to r \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$
$(IV)$ $p \to (q \to r) \equiv q \to (p \to r)$