ઉપવલય $16x^{2} + 9y^{2} = 144$ ના નાભિના યામ શોધો.

ધારો કે બે ઉપવલયોના સમીકરણો $E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ અને $E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,તો ઉપવલય $E_2$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના જે બિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા $\theta$ અને $\phi$ છે,તેમાંથી પસાર થતી જીવા નાભિમાંથી પસાર થાય,તો $(1 + e) \tan(\frac{\theta}{2}) \tan(\frac{\phi}{2})$ ની કિંમત શું થાય?

બિંદુ $(1, 2)$ માંથી ઉપવલય $3x^2 + 2y^2 = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ એ એક લંબચોરસ $R$ ની અંદર આવેલ છે જેની બાજુઓ યામાક્ષોને સમાંતર છે. બીજું ઉપવલય $E_2$ એ લંબચોરસ $R$ ની બહારથી પસાર થાય છે અને બિંદુ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. ઉપવલય $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?