જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $x = 8$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેનું અનુરૂપ નાભિ $(2, 0)$ છે. જો પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક બિંદુ $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે,તો $(3PQ)^2$ ની કિંમત $........$ છે.

પ્રમાણિત ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના કેન્દ્રમાંથી તેના બિંદુ,જેનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\pi /4$ છે,ત્યાં દોરેલા સ્પર્શક અને અભિલંબ પરના લંબ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ ના નાભિઓને તેના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ એકબીજા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી હોય, તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયમાં,જો મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો તફાવત $10$ હોય અને એક નાભિ $(0, 5\sqrt{3})$ પર હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?