वक्र y=ax^3+bx^2+cx+5,X-अक्ष को (-2,0) पर स्प | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूंकि वक्र $X$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,यह $(-2,0)$ से गुजरता है और $x=-2$ पर इसका अवकलज $0$ है। $(

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$-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 3$

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(C) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूंकि वक्र $X$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,यह $(-2,0)$ से गुजरता है और $x=-2$ पर इसका अवकलज $0$ है। $(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \dots (i)$. साथ ही,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है। $x=-2$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow 3a(4) + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \dots (ii)$. वक्र $Y$-अक्ष को $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$,अतः $Q$ बिंदु $(0,5)$ है। $Q$ पर प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow c = 3$. $c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर: $8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \dots (iii)$. $12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \dots (iv)$. $(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$. $a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$. अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$।

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