વક્ર જે વિકલ સમીકરણ $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ ને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો $\frac{2\theta}{\pi} =$

$(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્ર,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્રને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).

વિકલ સમીકરણ $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$ નો ઉકેલ, જે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ નું સમાધાન કરે છે, તે શોધો:

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.