હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 5y$ માટે, મર્યાદાઓ $x + 3y \leq 60$, $x + y \geq 10$, $x - y \leq 0$, અને $x, y \geq 0$ ને આધીન મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત કેટલો છે?

આપેલ આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે. તો તેના અવરોધો કયા છે?

ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 3x + 5y$ માટે, શરતો $x + 3y \leq 60$, $x + y \geq 10$, $x - y \leq 0$ અને $x, y \geq 0$ ને આધીન મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત શોધો.

એક પેઢીએ $1200$ પેકેજોનું પરિવહન કરવાનું છે,જેમાં મોટી વાન $200$ પેકેજો અને નાની વાન $80$ પેકેજો લઈ જઈ શકે છે. દરેક મોટી વાનનો ખર્ચ $Rs. 400$ અને દરેક નાની વાનનો ખર્ચ $Rs. 200$ છે. આ કામ માટે $Rs. 3000$ થી વધુ ખર્ચ કરી શકાતો નથી અને મોટી વાનની સંખ્યા નાની વાનની સંખ્યા કરતા વધી શકતી નથી. જો ઉદ્દેશ્ય ખર્ચ ઘટાડવાનો હોય,તો આ સમસ્યાને $LPP$ તરીકે રજૂ કરો.

એક ઉત્પાદક પાસે તેની ફેક્ટરીમાં ત્રણ મશીનો $I, II$ અને $III$ છે. મશીન $I$ અને $II$ વધુમાં વધુ $12 \, \text{કલાક}$ માટે ચલાવી શકાય છે,જ્યારે મશીન $III$ દિવસમાં ઓછામાં ઓછા $5 \, \text{કલાક}$ ચલાવવું આવશ્યક છે. તે માત્ર બે વસ્તુઓ $M$ અને $N$ બનાવે છે,જે દરેકને ત્રણેય મશીનોના ઉપયોગની જરૂર પડે છે. ત્રણેય મશીનો પર $M$ અને $N$ ની $1$ એકમ બનાવવા માટે જરૂરી કલાકો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

વસ્તુઓ	મશીન $I$	મશીન $II$	મશીન $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

તે વસ્તુ $M$ અને $N$ પર અનુક્રમે $Rs. \, 600$ અને $Rs. \, 400$ નો નફો મેળવે છે. તેણે દરેક વસ્તુના કેટલા એકમોનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ જેથી તેનો નફો મહત્તમ થાય,એમ ધારીને કે તે ઉત્પાદિત તમામ વસ્તુઓ વેચી શકે છે? મહત્તમ નફો કેટલો થશે?

એક જથ્થાબંધ વેપારી $Rs. 2,40,000$ સાથે વ્યવસાય શરૂ કરવા માંગે છે. એક ક્વિન્ટલ ઘઉંની કિંમત $Rs. 2000$ છે અને એક ક્વિન્ટલ ચોખાની કિંમત $Rs. 3000$ છે. તેની પાસે $200$ ક્વિન્ટલ અનાજ રાખવાની ક્ષમતા છે. એક ક્વિન્ટલ ઘઉંના વેચાણ પરનો નફો $Rs. 125$ છે અને એક ક્વિન્ટલ ચોખાના વેચાણ પરનો નફો $Rs. 200$ છે. જો તેની પાસે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉં હોય,તો મહત્તમ નફા માટેનું ઉદ્દેશ્ય વિધેય $....$ છે.