वह अवकल समीकरण जिसके लिए l x^2+m y^2=x+y व्या | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ है। दो स्वेच्छ अचरों $l$ और $m$ को विलुप्त करने के लिए, हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष दो बा

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$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \ 2 & 2(y^{\prime 2}+yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}ight|=0$

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(A) दिया गया समीकरण $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ है। दो स्वेच्छ अचरों $l$ और $m$ को विलुप्त करने के लिए, हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करते हैं। $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2lx + 2myy^{\prime} - (1 + y^{\prime}) = 0 \ldots (ii)$ $(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2l + 2m(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y^{\prime \prime} = 0 \ldots (iii)$ हमारे पास $l, m, -1$ में तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली है: $l(x^2) + m(y^2) + (-1)(x+y) = 0$ $l(2x) + m(2yy^{\prime}) + (-1)(1+y^{\prime}) = 0$ $l(2) + m(2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime})) + (-1)(y^{\prime \prime}) = 0$ $l, m, -1$ के लिए एक गैर-तुच्छ हल प्राप्त करने के लिए, गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & -(x+y) \ 2x & 2yy^{\prime} & -(1+y^{\prime}) \ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & -y^{\prime \prime}\end{array}ight| = 0$ तीसरे स्तंभ को $-1$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}ight| = 0$

वह अवकल समीकरण जिसके लिए $l x^2+m y^2=x+y$ व्यापक हल है, वह है

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