y-अक्ष पर अक्ष वाले सभी परवलयों का अवकल समीकर | vedclass

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Question

(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,अत

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$x \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}=0$

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(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,अतः $h=0$। इस प्रकार,समीकरण $x^2 = 4a(y-k)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x = 4a \frac{dy}{dx} \implies 4a = \frac{2x}{dy/dx}$.पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2 = 4a \frac{d^2y}{dx^2}$.प्रथम अवकलज से $4a$ का मान द्वितीय अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$2 = \left( \frac{2x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.सरल करने पर:$1 = \frac{x}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2}$$\implies \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$$\implies x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$.

$y$-अक्ष पर अक्ष वाले सभी परवलयों का अवकल समीकरण क्या है?

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वह अवकल समीकरण जिसका हल $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$ है (जहाँ $c_1, c_2$ स्वेच्छ अचर हैं):

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y=ae^{x}+be^{-x}+x^{2}$ अवकल समीकरण $x \frac{d^{2} y}{dx^{2}}+2 \frac{dy}{dx}-xy+x^{2}-2=0$ का हल है।

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