मूल बिंदु से गुजरने वाले और y=x रेखा पर केंद् | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, h)$ है क्योंकि यह $y=x$ रेखा पर स्थित है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $(

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$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$

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(C) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, h)$ है क्योंकि यह $y=x$ रेखा पर स्थित है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $(h, h)$ से $(0,0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$ है। वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-h)^2 = 2h^2$ है। इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = 2h^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2h(x+y) = 0$ हो जाता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2yy' - 2h(1+y') = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $h = \frac{x+yy'}{1+y'}$ मिलता है। $h$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 = 2(\frac{x+yy'}{1+y'})(x+y)$। $(x^2+y^2)(1+y') = 2(x+y)(x+yy')$। $(x^2+y^2) + (x^2+y^2)y' = 2x^2 + 2xyy' + 2xy + 2y^2y'$। $y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^2+y^2-2xy-2y^2)y' = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^2$। $(x^2-y^2-2xy)y' = x^2-y^2+2xy$। अतः,$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y=x$ रेखा पर केंद्र रखने वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण क्या है?

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$(y - a)^2 = 4(x - b)$ [जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं] समीकरण से प्राप्त अवकल समीकरण की घात (degree) है

यदि $\sqrt{y}=\cos ^{-1} x$ है, तो यह अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=c$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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