x-अक्ष पर स्थित केंद्र वाले वृत्तों के परिवार | vedclass

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Question

(D) $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है।इस समीकरण में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $r$ हैं,इसलिए इसका दो बार

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$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+1=0$

Vedclass · Answer

(D) $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है।इस समीकरण में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $r$ हैं,इसलिए इसका दो बार अवकलन करने पर अवकल समीकरण प्राप्त होता है।प्रथम अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow x-a = -y \frac{dy}{dx}$।पुनः अवकलन करने पर: $1 - ((\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$।इसे सरल करने पर $y \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

$x$-अक्ष पर स्थित केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण है:

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सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x^{2} + 2x + C$ अवकल समीकरण $y' - 2x - 2 = 0$ का हल है।

वक्रों के परिवार $y = C_1 e^{C_2 x}$ को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए,जहाँ $C_1$ और $C_2$ स्वेच्छ अचर हैं।

$r$ स्थिर त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण है

$(x-a)^{2}+2 y^{2}=a^{2}$ द्वारा दिए गए वक्रों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।

बिंदु $(1, -1)$ से होकर गुजरने वाली सभी सरल रेखाओं का अवकल समीकरण है

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