एक आयत $ABCD$ के आयाम $51 \, cm \times 25 \, cm$ हैं। चित्र में दिखाए अनुसार आयत से एक समलंब चतुर्भुज $PQCD$ काटा जाता है,जिसकी समांतर भुजाएँ $QC$ और $PD$ का अनुपात $9:8$ है। यदि समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का $\frac{5}{6}$ वां भाग है,तो $QC$ और $PD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

(N/A) $ABCD$ एक आयत है जिसमें $AB = 51 \, cm$ और $BC = 25 \, cm$ है।
चूंकि समांतर भुजाएँ $QC$ और $PD$ का अनुपात $9:8$ है,इसलिए मान लीजिए $QC = 9x$ और $PD = 8x$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ की ऊँचाई आयत की चौड़ाई के बराबर है,जो कि $25 \, cm$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (QC + PD) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (9x + 8x) \times 25 = \frac{1}{2} \times 17x \times 25$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 51 \times 25$.
यह दिया गया है कि समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{5}{6} \times \text{आयत } ABCD \text{ का क्षेत्रफल}$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 17x \times 25 = \frac{5}{6} \times 51 \times 25$.
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $17x = \frac{5}{6} \times 51 \times 2 = \frac{5}{3} \times 51 = 5 \times 17 = 85$.
इस प्रकार,$x = \frac{85}{17} = 5$.
अतः,$QC$ की लंबाई $= 9x = 9 \times 5 = 45 \, cm$.
और $PD$ की लंबाई $= 8x = 8 \times 5 = 40 \, cm$.