एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियों के बीच की दूरी उसके शीर्षों के बीच की दूरी की दोगुनी है और उसके संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई $6$ है। अतिपरवलय का समीकरण,उसके अक्षों को निर्देशांक अक्ष मानने पर,क्या होगा?

मान लीजिए कि $R$ एक आयत है जो रेखाओं $x=0, x=2, y=0$ और $y=5$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$,जहाँ $\alpha \in [0, 2]$ और $\beta \in [0, 5]$,इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $AB$ आयत $R$ के क्षेत्रफल को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो,$AB$ का मध्य-बिंदु $.........$ पर स्थित है।

यदि अतिपरवलय $x^2-k y^2=3$ के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो इस अतिपरवलय के सापेक्ष रेखा $x+y-1=0$ का ध्रुव ज्ञात कीजिए।

शंकु ${x^2} - {y^2} - 8x + 2y + 11 = 0$ के बिंदु $(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$,जो $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।

रेखाओं $(\sqrt{3})kx + ky - 4\sqrt{3} = 0$ और $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ एक शांकव है,जिसकी उत्केंद्रता ............. है।