એક અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં બમણું છે અને તેના અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $6$ છે. અતિવલયનું સમીકરણ,તેના અક્ષોને યામ અક્ષો તરીકે લેતા,શું થાય?

ધારો કે ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ અને અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=-1$ ના નાભિ સમાન છે. જો $e$ અને $L$ અનુક્રમે $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય, તો $24(e+L)$ ની કિંમત શોધો.

જો અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ના નાભિઓ સમાન હોય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\frac{15}{8}$ ગણી હોય,તો અતિવલય પરના બિંદુ $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ નું નાનું નાભિ અંતર કેટલું થાય?

અતિવલય $9x^2 - 4y^2 = 36$ માટે રેખા $y = 2x$ ને સમાંતર જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

જો લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના કોઈ ચલ બિંદુએ સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષ પર $a_1, a_2$ અને $y$-અક્ષ પર $b_1, b_2$ અંત:ખંડ કાપે,તો $(a_1a_2 + b_1b_2)$ ની કિંમત શું થાય?

લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^{2}$ ના બિંદુ $t$ આગળનો અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t'$ બિંદુએ મળે છે,તો