ઉપવલય $x=3 \cos \theta$,$y=4 \sin \theta$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ના નાભિઓ છે અને $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય પરનું એક બિંદુ છે. જો $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ હોય, તો $\alpha^2+\beta^2$ ની કિંમત શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{3} = 1$ પરના કોઈ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં મળે છે,અને $O$ ઉગમબિંદુ છે,તો ત્રિકોણ $OAB$ નું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

ઉપવલય $x^2+4y^2=16$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે છે. જો $M$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $M$ નો બિંદુપથ આપેલ ઉપવલયના નાભિલંબને જે બિંદુઓમાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$. આ સ્પર્શક દ્વારા અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય તે માટે $\theta$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $-\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $C$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય? .............. $sq. \,units$