अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ की उन स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी क्या है जो रेखा $x - 2y + 5 = 0$ पर लंब हैं?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ पर खींची गई $y - x + 5 = 0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण है

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित किसी बिंदु से उसकी अनंतस्पर्शी (asymptotes) रेखाओं पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए: शीर्ष $(0, \pm 5)$,नाभियाँ $(0, \pm 8)$।

मान लीजिए कि बिंदु $P_1\left(\frac{\pi}{4}\right), P_2\left(\frac{3 \pi}{4}\right), P_3\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ और $P_4\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ प्राचलिक रूप में दिए गए हैं,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ पर स्थित हैं। तो ये चार बिंदु उस क्रम में क्या बनाते हैं?

कथन $(A)$: बिंदु $(5, -4)$ अतिपरवलय $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ के अंदर स्थित है।
कारण $(R)$: एक बिंदु $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अंदर स्थित होता है यदि $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 < 0$ हो।