दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए: शीर्ष $(0, \pm 5)$,नाभियाँ $(0, \pm 8)$।

यदि $\theta$ अतिपरवलय $7x^2 - 9y^2 = 63$ के अनंतस्पर्शी के बीच का न्यून कोण है,तो $\cos \theta =$

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ पर,रेखा $2x-y=1$ के समांतर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। अतिपरवलय पर स्पर्श बिंदु हैं:
$(A) \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(B) \left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(C) (3\sqrt{3}, -2\sqrt{2})$
$(D) (-3\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$

मान लीजिए $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और इसकी नियताओं के बीच की दूरी $\frac{8}{3}$ है। यदि रेखा $x = k$ अतिपरवलय $H$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटती है कि त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{15}$ है, जहाँ $O$ मूलबिंदु है, तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P(4,3)$ की नाभीय दूरियों का योग $8 \sqrt{\frac{5}{3}}$ है। यदि $H$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $l$ है और बिंदु $P$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $m$ है,तो $9l^2 + 6m$ का मान ज्ञात कीजिए :-

मान लीजिए $(1, 2)$ एक अतिपरवलय $H$ की नाभि है और $x+y+1=0$ उसकी नियता है। यदि $\sqrt{3}$ $H$ की उत्केंद्रता है,तो उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।