मान लीजिए कि अतिपरवलय H : frac{x^2}{a^2} - fr | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय पर बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियों का योग $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ होता है।$x = 4$ दिया गया है,इसलिए $2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,जि

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$185$

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(C) अतिपरवलय पर बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियों का योग $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ होता है।$x = 4$ दिया गया है,इसलिए $2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,जिसका अर्थ है $e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{5}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{2}{3}a^2$ है।बिंदु $P(4, 3)$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$.$b^2 = \frac{2}{3}a^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{(2/3)a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32 - 27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow 2a^2 = 5$ $\Rightarrow a^2 = \frac{5}{2}$.अतः $b^2 = \frac{2}{3} 	imes \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$.नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(5/3)}{\sqrt{5/2}} = \frac{10}{3} 	imes \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.$l^2 = \frac{4 	imes 10}{9} = \frac{40}{9} \Rightarrow 9l^2 = 40$.नाभीय दूरियों का गुणनफल $m = e^2x^2 - a^2 = \frac{5}{3}(16) - \frac{5}{2} = \frac{80}{3} - \frac{5}{2} = \frac{160 - 15}{6} = \frac{145}{6}$.इस प्रकार,$6m = 145$.अंततः,$9l^2 + 6m = 40 + 145 = 185$.

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