अतिपरवलय $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ पर खींची गई $y - x + 5 = 0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण है

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, जो $(6, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है, की उत्केंद्रता $15(e^2 + 1) = 34e$ को संतुष्ट करती है, तो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ के नाभिलंब की लंबाई क्या है?

वह बिंदु जिससे अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की दो अलग-अलग शाखाओं पर दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,लेकिन वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर कोई दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ नहीं खींची जा सकती हैं,वह है:

अतिपरवलय $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$ की नाभियाँ (foci) ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 - 2\sqrt{2}x - 4\sqrt{2}y - 6 = 0$ की एक शाखा पर विचार करें जिसका शीर्ष बिंदु $A$ पर है। मान लीजिए $B$ इसके नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु है। यदि $C$ बिंदु $A$ के निकटतम अतिपरवलय की नाभि है,तो त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) $PQ$ इस प्रकार है कि $\Delta OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। तब उत्केंद्रता $e$ किस संबंध को संतुष्ट करती है?