समतल vec{r} = (hat{i} - hat{j}) + lambda(hat{ | vedclass

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Question

(A) समतल का समीकरण प्राचलिक रूप में $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ दिया गया है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i

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$\frac{7}{\sqrt{38}}$ इकाई

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(A) समतल का समीकरण प्राचलिक रूप में $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ दिया गया है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{c}$ की गणना करते हैं:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.समतल का कार्तीय समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.अतः,समतल का समीकरण $5x - 2y - 3z = 7$ है।मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz = D$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।यहाँ,$A = 5, B = -2, C = -3$,और $D = 7$ है।$d = \frac{|7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{38}}$ इकाई।

समतल $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})$ की मूल बिंदु से दूरी क्या है?

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$y$-अक्ष के समांतर और $x$-अक्ष तथा $z$-अक्ष पर क्रमशः $2$ और $3$ लंबाई के अंतःखंड काटने वाले समतल का समीकरण है:

यदि समतल $x - c y - b z = 0$,$c x - y + a z = 0$ और $b x + a y - z = 0$ एक सीधी रेखा से गुजरते हैं,तो $a^2 + b^2 + c^2 =$

बिंदु $(1, -3, -2)$ से गुजरने वाले और समतलों $x + 2y + 2z = 5$ तथा $3x + 3y + 2z = 8$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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