બિંદુ $(1, -1, 1)$ થી સમતલ $3x + 4y + 5z + 19 = 0$ નું અંતર,જે $2, 3, 1$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર રેખાની દિશામાં માપવામાં આવે તો તે કેટલું થાય?

$a, b \in \mathbb{Z}$ અને $|a - b| \leq 10$ માટે,સમતલ $P: ax + y - z = b$ અને રેખા $l: x - 1 = \frac{-y}{1} = z + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે. જો બિંદુ $(6, -6, 4)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $3\sqrt{6}$ હોય,તો $a^4 + b^2$ ની કિંમત શોધો.

સમતલ $x+2y+3z-4=0$ અને $2x+y-z+5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $5x+3y-6z+8=0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખાઓ $\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{\lambda}$ અને $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ સમતલીય છે. જો $p$ એ આ રેખાઓ ધરાવતું સમતલ હોય,તો $\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે નીચેનામાંથી કયું બિંદુ સમતલ પર આવેલું છે?

રેખા $r = (2i - 2j + 3k) + \lambda (i - j + 4k)$ અને સમતલ $r \cdot (i + 5j + k) = 5$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $P(2,1,5)$ અવકાશમાં એક બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+\mu(-3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k})$ પરનું એક બિંદુ છે. તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $3x-y+4z=1$ ને સમાંતર થાય?