फलन f(x) = sin^{-1}left(frac{|x|+5}{x^2+1}rig | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका मान $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ के बीच होना चाहिए।चूं

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$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका मान $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ के बीच होना चाहिए।चूंकि $|x|+5 > 0$ और $x^2+1 > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है,इसलिए $\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ हमेशा सत्य है।अतः,हमें केवल $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ को हल करना है।$x^2+1$ से गुणा करने पर,हमें $|x|+5 \leq x^2+1$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - |x| - 4 \geq 0$ मिलता है।माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $t^2 - t - 4 \geq 0$ होगा।$t^2 - t - 4 = 0$ के मूल $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।चूंकि $t = |x| \geq 0$ है,इसलिए हमें $t \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ लेना होगा।अतः,$|x| \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x \in \left(-\infty, -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$ है।दिए गए प्रांत $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ का प्रांत $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ है। तब $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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