વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેય $f(x) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x})$ નો પ્રદેશ શોધો.

ધારો કે $D$ એ વિધેય $f(x) = \sin^{-1} \left(\log_{3x} \left(\frac{6+2 \log_3 x}{-5x}\right)\right)$ નો પ્રદેશ છે. જો $g(x) = x - [x]$ (જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $g: D \rightarrow R$ નો વિસ્તાર $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $\alpha^2 + \frac{5}{\beta}$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = e^{|x| \sin x}$ માટે પ્રદેશ અને વિસ્તાર શું છે?

ધારો કે વિધેયો $f(x) = \log_4 \log_3 \log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5))$ અને $g(x) = \sin^{-1}(\frac{7x + 10}{x - 2})$ ના પ્રદેશો અનુક્રમે $(\alpha, \beta)$ અને $[\gamma, \delta]$ છે. તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f:[0,3] \rightarrow A$ એ $f(x)=2x^3-15x^2+36x+7$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને $g:[0, \infty) \rightarrow B$ એ $g(x)=\frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો બંને વિધેયો વ્યાપ્ત (onto) હોય અને $S =\{ x \in \mathbb{Z} : x \in A \text{ અથવા } x \in B \}$ હોય,તો $n(S)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f: A \rightarrow B$ એ $f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે અને $g: B \rightarrow C$ એ $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $A, B, C$ એ $\mathbb{R}$ ના ઉપગણો હોય અને $f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય હોય, તો વિધેય $f(x)$ નો વિસ્તાર શું છે?