आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

मान लीजिए $L(ae, b^2/a)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब का प्रथम चतुर्थांश में स्थित अंतिम बिंदु है और $S(ae, 0)$ दिए गए अतिपरवलय की नाभि है। यदि $L$ का मान $(x_1, 4)$ है और $S$ का मान $(8, y_1)$ है,तो इसके अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय (hyperbola) बिंदुओं $(3, 2)$ और $(-17, 12)$ से होकर गुजरता है और इसका केंद्र मूल बिंदु पर है तथा इसका अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) $x$-अक्ष के अनुदिश है। इसके अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई है:

यदि अतिपरवलय $x^2-y^2=c^2$ पर एक बिंदु $P(t)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $T$ पर काटती है और उसी बिंदु $P$ पर खींचा गया अभिलंब $Y$-अक्ष को $N$ पर काटता है,तो $TN$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ की नियता (directrix) क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी (asymptotes),अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा के साथ एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल $a^2 \tan (\alpha)$ है। तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या होगी?