ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 18x - 2y - 16 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$15 \ cm$ લંબાઈનો એક સળિયો $AB$ બે યામ અક્ષોની વચ્ચે એવી રીતે રાખેલ છે કે જેથી અંત્યબિંદુ $A$ એ $x-$અક્ષ પર અને અંત્યબિંદુ $B$ એ $y-$અક્ષ પર હોય. સળિયા પર એક બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે લેવામાં આવે છે કે જેથી $AP = 6 \ cm$ થાય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

જો $x+y+n=0, n>0$ એ ઉપવલય $x^2+3y^2=3$ નો અભિલંબ હોય અને $x+my+3=0, m < 0$ એ ઉપવલય $x^2+5y^2=5$ નો સ્પર્શક હોય,તો આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

એલિપ્સના સંગ્રહ $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ અને લંબચોરસના સંગ્રહ $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબગોળ $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ.
તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $E_{18}$ અને $E_{19}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન નથી
$(2)$ $E_9$ માં કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $\frac{\sqrt{5}}{32}$ છે
$(3)$ $E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{6}$ છે
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,દરેક ધન પૂર્ણાંક $N$ માટે

$x = 2(\cos t + \sin t), y = 5(\cos t - \sin t)$ દ્વારા દર્શાવતો શાંકવ ..... છે.

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે અને ધારો કે $P$ માંથી મુખ્ય અક્ષ પર દોરેલો લંબ તેના સહાયક વર્તુળને $Q$ માં મળે છે. જો ઉપવલય અને સહાયક વર્તુળ પર અનુક્રમે $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબ $R$ માં મળતા હોય,તો $R$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?