समीकरण e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$माना $e^x = t$. चूंकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ है।समीकरण $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1

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दो हल हैं और दोनों ऋणात्मक हैं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$माना $e^x = t$. चूंकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ है।समीकरण $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1 = 0$ हो जाता है।$t^2$ से विभाजित करने पर $(t 
eq 0)$:$t^2 + 8t + 13 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 8(t - \frac{1}{t}) + 13 = 0$माना $z = t - \frac{1}{t}$. तब $z^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$,इसलिए $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 + 2$ है।समीकरण में मान रखने पर:$(z^2 + 2) + 8z + 13 = 0$$z^2 + 8z + 15 = 0$$(z + 3)(z + 5) = 0$अतः,$z = -3$ या $z = -5$ है।स्थिति $1$: $t - \frac{1}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$ है।स्थिति $2$: $t - \frac{1}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$ है।दोनों स्थितियों में $t अतः,दो हल हैं और दोनों ऋणात्मक हैं।

List-$I$	List-$II$
$A$. सभी मूल ऋणात्मक हैं	$I$. $(b - 3)^2 = 36 + P^2$ जहाँ $P \in R$
$B$. दो मूल सम्मिश्र हैं	$II$. $-3 < b < 9$
$C$. दो मूल धनात्मक हैं	$III$. $b \in (-\infty, -3) \cup (9, \infty)$
$D$. सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं	$IV$. $b = 9$
	$V$. $b = -3$

समीकरण $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0, x \in R$ के:

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