समीकरण x^2-3xy+lambda y^2+3x-5y+2=0,जहाँ lamb | vedclass

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Question

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का युग्म निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो। तुलना करने प

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$\sqrt{10}$

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(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का युग्म निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो। तुलना करने पर $a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ प्राप्त होता है। मान रखने पर: $(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - (1)(-5/2)^2 - (\lambda)(3/2)^2 - (2)(-3/2)^2 = 0$. $2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 9/2 = 0$. $2\lambda - 9\lambda/4 + 5 - 4.5 = 0 \implies -\lambda/4 + 0.5 = 0 \implies \lambda = 2$. रेखाओं के बीच का कोण $	heta$ के लिए $	an 	heta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} ight|$ होता है। यहाँ $a=1, b=2, h=-3/2$ है। $	an 	heta = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{1+2} ight| = \frac{2\sqrt{1/4}}{3} = \frac{1}{3}$. अतः $\cot 	heta = 3$। $\operatorname{cosec}^2 	heta = 1 + \cot^2 	heta = 1 + 3^2 = 10$। इस प्रकार,$\frac{\operatorname{cosec}^2 	heta}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$।

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