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Question

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $h = 1+4k$ है। अतः,केंद्र $(4k+1, k)$ है।वृत्त बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5

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$x^2+y^2+6x+2y-90=0$

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(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $h = 1+4k$ है। अतः,केंद्र $(4k+1, k)$ है।वृत्त बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) है:$(4k+1-3)^2 + (k-7)^2 = (4k+1-5)^2 + (k-5)^2$$(4k-2)^2 + (k-7)^2 = (4k-4)^2 + (k-5)^2$$16k^2 - 16k + 4 + k^2 - 14k + 49 = 16k^2 - 32k + 16 + k^2 - 10k + 25$$17k^2 - 30k + 53 = 17k^2 - 42k + 41$$12k = -12 \Rightarrow k = -1$.$k = -1$ को $h = 1+4k$ में रखने पर,$h = 1+4(-1) = -3$ प्राप्त होता है। अतः,केंद्र $(-3, -1)$ है।त्रिज्या $r$ बिंदु $(-3, -1)$ और $(5, 5)$ के बीच की दूरी है:$r^2 = (5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 100$$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 100$$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 90 = 0$.

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है और जो बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5)$ से होकर गुजरता है।

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