वृत्त x^{2}+y^{2}=2 और परवलय y^{2}=8x की उभयन | vedclass

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Question

(D) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।परवलय की कोई भी स्पर्शरेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप म

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$-2$

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(D) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।परवलय की कोई भी स्पर्शरेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जिसे $mx-y+\frac{2}{m}=0$ लिखा जा सकता है।यदि यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की स्पर्शरेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।अतः,$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^{2}}=2(m^{2}+1)$ $\Rightarrow 2=m^{2}(m^{2}+1)$ $\Rightarrow m^{4}+m^{2}-2=0$.माना $t=m^{2}$,तो $t^{2}+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. चूँकि $m^{2} \geq 0$,इसलिए $m^{2}=1$,अतः $m=\pm 1$.यदि $m=1$ है,तो स्पर्शरेखा $x-y+2=0 \Rightarrow y=x+2$ है।यदि $m=-1$ है,तो स्पर्शरेखा $-x-y-2=0 \Rightarrow x+y=-2$ है।$x+y=-2$ की तुलना दिए गए समीकरण $x+y=k$ से करने पर,$k=-2$ प्राप्त होता है।

वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ और परवलय $y^{2}=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $x+y=k$ है। तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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