(1,2) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया बिंदु $P=(1,2)$ है।स्पर्शक की ढाल $\frac{dy}{dx} = 	an(	heta) = 	an(	an^{-1}(2x+3y)) = 2x+3y$ द्वारा दी गई है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण

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$6 x+9 y+2=26 e^{3 x-3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया बिंदु $P=(1,2)$ है।स्पर्शक की ढाल $\frac{dy}{dx} = 	an(	heta) = 	an(	an^{-1}(2x+3y)) = 2x+3y$ द्वारा दी गई है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 3y = 2x$।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $y e^{-3x} = \int 2x e^{-3x} dx + c$।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-3x} dx = 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}ight) - \int 2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}ight) dx = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।अतः,$y e^{-3x} = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।$e^{3x}$ से गुणा करने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + c e^{3x}$।चूंकि वक्र $(1,2)$ से गुजरता है: $2 = -\frac{2}{3}(1) - \frac{2}{9} + c e^3 \implies 2 = -\frac{8}{9} + c e^3 \implies c e^3 = \frac{26}{9} \implies c = \frac{26}{9} e^{-3}$।$c$ का मान रखने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{26}{9} e^{-3} e^{3x} \implies 9y = -6x - 2 + 26 e^{3x-3} \implies 6x + 9y + 2 = 26 e^{3x-3}$।

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