समतल का कार्तीय रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए, ज | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\hat{n}$ इकाई अभिलंब

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$2 x-3 y+4 z=6$

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(A) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\hat{n}$ इकाई अभिलंब सदिश है।दिया गया अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है, जिसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।अतः, इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ है।मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{6}{\sqrt{29}}$ है।समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ में मान रखने पर:$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$.दोनों पक्षों को $\sqrt{29}$ से गुणा करने पर, हमें $2x - 3y + 4z = 6$ प्राप्त होता है।

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यदि समतल $x - c y - b z = 0$,$c x - y + a z = 0$ और $b x + a y - z = 0$ एक सीधी रेखा से गुजरते हैं,तो $a^2 + b^2 + c^2 =$

बिंदु $A(-2, 7, 5)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समांतर समतल का सदिश समीकरण है:

$x, y$ और $z$-अक्ष पर क्रमशः $2, 3$ और $4$ अंतःखंड (intercepts) वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि मूल बिंदु से एक समतल पर खींचे गए लंब का पाद $(1, 2, 3)$ है,तो उस समतल पर स्थित एक बिंदु है

यदि एक समतल $X, Y, Z$ अक्षों को क्रमशः $A, B, C$ पर मिलता है और $\triangle ABC$ का केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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