સમતલનું કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો, જે ઉગમબિંદુથી $\frac{6}{\sqrt{29}}$ ના અંતરે છે અને ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલ તેનો અભિલંબ સદિશ $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ છે.

ધારો કે $6x - 3y + 2z - 6 = 0$ એ આપેલ સમતલ છે. જો $a, b, c$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$-અક્ષો પર સમતલ દ્વારા બનાવેલ અંતઃખંડો હોય; $l, m, n$ એ સમતલ પર દોરેલા અભિલંબના દિકકોસાઇન હોય અને $p$ એ ઉગમબિંદુથી સમતલનું લંબ અંતર હોય, તો $|al + bm + cn|=$

બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલો $x + 2y + 2z - 7 = 0$ તથા $3x + 3y + 2z - 5 = 0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ છે

બિંદુ $(1,3,-7)$ નું સમતલથી અંતર શોધો,જે બિંદુ $(1,-1,-1)$ માંથી પસાર થાય છે અને જેનો અભિલંબ રેખાઓ $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-4}{3}$ અને $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+7}{-1}$ બંનેને લંબ છે.

જો $(x, y, z)$ એ સમતલ $P$ પર આવેલું કોઈ બિંદુ હોય જે $(42, 0, 0)$,$(0, 42, 0)$ અને $(0, 0, 42)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તો પદાવલિ $3 + \frac{x-11}{(y-19)^{2}(z-12)^{2}} + \frac{y-19}{(x-11)^{2}(z-12)^{2}} + \frac{z-12}{(x-11)^{2}(y-19)^{2}} - \frac{x+y+z}{14(x-11)(y-19)(z-12)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સમતલ $ax+by+cz+d=0$ એ બિંદુઓ $(4,-3,1)$ અને $(2,3,-5)$ ને જોડતી રેખાને કાટખૂણે દુભાગે છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય,તો $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.