समतलों 2x - y + z = 3 और 4x - 3y + 5z = -9 के | vedclass

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Question

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y +

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$11x - 3y - 2z - 54 = 0$

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(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(2 + 4\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (-3 + 9\lambda) = 0$।इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2 + 4\lambda)\hat{i} + (-1 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ है।चूंकि समतल, दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ वाली रेखा के समांतर है, इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए, अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$।$2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$।$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$।$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -5/21$।समतल समीकरण में $\lambda = -5/21$ रखने पर: $(2 - 20/21)x + (-1 + 15/21)y + (1 - 25/21)z + (-3 - 45/21) = 0$।$(42 - 20)/21 x + (-21 + 15)/21 y + (21 - 25)/21 z + (-63 - 45)/21 = 0$।$22x - 6y - 4z - 108 = 0$।$2$ से भाग देने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$।

समतलों $2x - y + z = 3$ और $4x - 3y + 5z = -9$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 3}{5}$ के समांतर समतल का समीकरण है

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