मूल बिंदु से गुजरने वाले और समतलों $x+2y-z=1$ तथा $3x-4y+z=5$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

तीन समतलों पर विचार करें:
$P_1: x-y+z=1$
$P_2: x+y-z=-1$
$P_3: x-3y+3z=2$
मान लीजिए $L_1, L_2, L_3$ क्रमशः समतलों $P_2$ और $P_3$,$P_3$ और $P_1$,तथा $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखाएँ हैं।
$\text{कथन}-1$: रेखाओं $L_1, L_2$ और $L_3$ में से कम से कम दो रेखाएँ असमांतर हैं।
$\text{कथन}-2$: तीनों समतलों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

बिंदु $(2, 1, 4)$ से रेखाओं $\vec r = (\hat i + \hat j) + \lambda (\hat i + 2\hat j - \hat k)$ और $\vec r = (\hat i + \hat j) + \mu (-\hat i + \hat j - 2\hat k)$ को समाहित करने वाले समतल पर खींचे गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का न्यून कोण है,जहाँ समतलों $P_1$ और $P_2$ का संयुक्त समीकरण $2x^2 - 6y^2 - 12z^2 + 18yz + 2zx + xy = 0$ है,तो $\cos \alpha$ का मान क्या है?

बिंदु $2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ से गुजरने वाले और समतल $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 7 = 0$ के समांतर समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

$(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले उस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात क्या हैं जो समतल $2x + 3y = 7$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है?