बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाले और समतल $x + 2y + 5z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $\alpha x+\beta y+\gamma z=1$ एक समतल का समीकरण है जो बिंदु $(3, -2, 5)$ से गुजरता है और बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(-2, 3, 5)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। तो $\alpha \beta \gamma$ का मान $..........$ के बराबर है।

समतलों $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 19$ और $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाले समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि समतलों $2x + y + z + 1 = 0$ और $2x + y + z + \alpha = 0$ के बीच की दूरी $3$ इकाई है,तो $\alpha$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल क्या है?

समतल का कार्तीय रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए, जो मूल बिंदु से $\frac{6}{\sqrt{29}}$ की दूरी पर है और मूल बिंदु से खींचा गया इसका अभिलंब सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ है।

मूलबिंदु से समतल $2x - y + 5z - 3 = 0$ पर खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक $ . . . . . . $ हैं।