शांकव $3x^2 - y^2 = 3$ के उन स्पर्श रेखाओं का समीकरण क्या है जो रेखा $x + 3y = 2$ के लंबवत हैं?

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का केंद्र मूल बिंदु पर है और नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C_1$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को स्पर्श करता है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $C_2$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को उसके शीर्ष पर स्पर्श करता है और जिसका केंद्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $C_1$ और $C_2$ के क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्रमशः $36 \pi$ और $4 \pi$ हैं,तो $H$ के नाभिलंब की लंबाई (इकाइयों में) क्या है?

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $a$ और $b$ क्रमशः एक अतिपरवलय के अर्ध-अनुप्रस्थ और अर्ध-संयुग्मी अक्ष हैं,जिसकी उत्केंद्रता समीकरण $9e^2 - 18e + 5 = 0$ को संतुष्ट करती है। यदि $S(5, 0)$ एक नाभि है और $5x = 9$ इस अतिपरवलय की संगत नियता है,तो $a^2 - b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{20} - \frac{3y^2}{4} = 1$ की उन स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 3y = 7$ के समांतर हैं।

माना $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ एक अतिपरवलय है,जिसकी उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है और नाभिलंब की लंबाई $4\sqrt{3}$ है। मान लीजिए कि बिंदु $(\alpha, 6)$,जहाँ $\alpha > 0$,$H$ पर स्थित है। यदि $\beta$ बिंदु $(\alpha, 6)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल है,तो $\alpha^2+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए: