उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $e = 2$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $8$ है।

अतिपरवलय $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$ का केंद्र ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ के अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि बिंदु $P_1\left(\frac{\pi}{4}\right), P_2\left(\frac{3 \pi}{4}\right), P_3\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ और $P_4\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ प्राचलिक रूप में दिए गए हैं,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ पर स्थित हैं। तो ये चार बिंदु उस क्रम में क्या बनाते हैं?

वह बिंदु जिससे अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की दो अलग-अलग शाखाओं पर दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,लेकिन वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर कोई दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ नहीं खींची जा सकती हैं,वह है:

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ की नाभियाँ दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ की नाभियों के संपाती हैं और अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है। यदि $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha$ है और इसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta$ है,तो $3 \alpha^2+2 \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए: