વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષે $x=1$ આગળ પ્રથમ વિકલિત શું થાય?

વિધેય $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(C)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(D)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$3.$ ધારો કે $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ધન અને $(0, \infty)$ પર ઋણ છે
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ઋણ અને $(0, \infty)$ પર ધન છે
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ બંને પર ચિહ્ન બદલે છે
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચિહ્ન બદલતું નથી
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

વિધેય $f(x) = x \cos x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો. સાચું વિધાન ઓળખો.

ધારો કે $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$. તો $x = -1$ આગળ $y'(x) - y''(x)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2) = 1$ અને $f'(2) = 4$ થાય. જો $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ હોય,તો વક્ર $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$ એ $x$-અક્ષને કેટલી વાર છેદે છે?

સમીકરણ $x^2 \cdot e^{2 - |x|} = 1$ ના બીજની સંખ્યા કેટલી છે?